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 문제에 뭔가 열심히 적혀있는데 결국엔 두 원이 만나는 점의 개수를 구하면 된다.

 두 원의 중심이 같으면 반지름에 따라 모든 점에서 만나거나 만나는 점이 없다.

 중심이 다르면 만나지 않거나, 한 점에서 접하거나, 두 점에서 만나게 된다.

 이 개념만 알고 코딩하면 되는데 그게 마음처럼 쉽게 안된다. 그래서 아마 이 글을 보고 있을 것이다.

 하나씩 짚어보자.

 두 원의 중심이 같으면 반지름이 같은지 확인하여 반지름이 같으면 -1 출력, 다르면 0을 출력해주면 된다.

 문제는 중심이 다를 때이다. 

 중심이 다를 때 만나지 않는 경우는 두 가지이다.

 두 원이 아주 떨어져 있거나, 한 원 안에 다른 원이 들어가 있는 경우인데 나같은 경우 아주 떨어진 경우만 생각했다가 두번의 WA를 받았다. 

 이 두 상황을 판단하는 방법은

• 두 원이 아주 떨어져 있는 경우 : 두 원의 반지름의 합 < 두 중심 사이의 거리
• 한 원 안에 다른 원이 있는 경우 : 두 원의 반지름의 차 > 두 중심 사이의 거리  

 이다.

마찬가지로 두 원이 한 점에서 만나는 경우는

그림과 같이 두 가지 경우가 나온다. 

• 두 원이 떨어져 있는 경우 : 두 원의 반지름의 합 == 두 중심 사이의 거리
• 한 원 안에 다른 원이 있는 경우 : 두 원의 반지름의 차 == 두 중심 사이의 거리  

마지막으로 두 원이 두 점에서 만나는 경우는

 위와 같이 두 가지 경우인 것 같아 보여서 아래와 같이 

• 두 원이 떨어져 있는 경우 : 두 원의 반지름의 합 > 두 중심 사이의 거리
• 한 원 안에 다른 원이 있는 경우 : 두 원의 반지름의 차 < 두 중심 사이의 거리 

 나누어 생각하면 망한다. 사실 위에 두 경우는 같은 경우이므로, 두 점에서 만날 때는 위에 두 조건을 동시에 만족해야한다.  

 결론적으로 중심이 다를 때 두 원의 중심 사이의 거리를 \(d\), 두 원의 반지름을 \(r_1\), \(r_2\)라고 하면,

• 교점 X : \( r_1 + r_2 < d\)    or    \( |r_1 - r_2| > d\)
• 교점 1 : \(r_1 + r_2 = d\)    or    \(r_1 - r_2 = d\)
• 교점 2 : \(|r_1 - r_2|    <    d    <    r_1 + r_2\)

 이렇게 정리할 수 있고, 코딩만 하면 끝난다.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    int first_x, first_y, first_r, second_x, second_y, second_r;
    int d, r;
    
    while (T--) {
        cin >> first_x >> first_y >> first_r >> second_x >> second_y >> second_r;
        // d : (두 점 사이의 거리) ^ 2
        d = (first_x - second_x) * (first_x - second_x) + (first_y - second_y) * (first_y - second_y);

        // 중심이 같은 경우
        if (d == 0) {
            if (first_r == second_r) {
                cout << -1 << '\n';
            }
            else{
                cout << 0 << '\n';
            }
        }
        // 중심이 다를 때
        else {
            // 미리 구해놓은 d가 거리의 제곱이므로 양변을 제곱해준다.
            // r1 + r2 < d || |r1 - r2| > d
            if ((first_r + second_r) * (first_r + second_r) < d || d < (first_r - second_r) * (first_r - second_r) ) {
                cout << 0 << '\n';
            }
            // r1 + r2 == d || |r1 - r2| == d
            else if ((first_r + second_r) * (first_r + second_r) == d || (first_r - second_r) * (first_r - second_r) == d) {
                cout << 1 << '\n';
            }
            // |r1 - r2| < d < r1 + r2
            else if ((first_r - second_r) * (first_r - second_r) < d && d < (first_r + second_r) * (first_r + second_r) ){
                cout << 2 << '\n';
            }
        }
    }

    return 0;
}